Logika Matematika

Kali ini ZyuProject akan sedikit mengulas tentang Logika Matematika.
Logika matematika membahas kebenaran dari pernyataan , atau pernyataan-pernyataan yang diajukan. Pernyataan dalam logika matematika biasa disimbolkan dengan p, q, dan r, walaupun penggunaan huruf lain boleh-boleh saja.

Contoh dari Logika matematika adalah:

p: Ruri menyuruh Andi membersihkan jendela
q: Sagas memasak di dapur

Logika Matematika juga mengenal negasi. Negasi ialah kebalikan dari suatu pernyataan, negasi diberi tanda (~) sebelum simbol pernyataan, misalnya ~p. Contohnya:

p : Ruri menyuruh Andi membersihkan jendela
~p : Ruri tidak menyuruh Andi mebersihkan Jendela

q :Sagas memasak didapur
~q :Sagas tidak memasak didapur

Negasi juga dapat berlaku dua kali terhadap suatu pernyataan, misalnya:

p : Ruri menyuruh Andi
~p : Ruri tidak menyuruh Andi
~(~p) : Ruri menyuruh Andi

Jika pernyataan p diatas (Ruri menyuruh Andi) ternyata benar kenyataannya di lapangan, maka pernyataan p kita beri nilai benar (B), dapat kita tulis
p = B
Tetapi, kebalikannya, jika pernyataan p diatas tidak mencerminkan keadaan sesungguhnya (Ruri tidak menyuruh Andi), maka pernyataan p kita beri nilai salah (S), dapat kita tulis:
p = S

Nah, dari sini dapat kita tarik kesimpulan bahwa negasi sebuah pernyataan akan memberikan kebalikanya, dapat ditulus
Untuk p = B, maka ~p = S
untuk p= S, maka ~p =B

Dalam Logika matematika ada beberapa operasi, mereka adalah Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan BiImplikasi. Berikut uraian singkatnya:

  • Konjungsi (?) . Yaitu operasi "Dan"
    Misal:
    Anton meminta tolong kepada Dini untuk mengambilkan Pensil (p) dan Karet Penghapus (q).
    Jika ternyata Dini hanya mengambikan Pensil (p) saja atau Penghapus (q) saja, maka tindakan Dini dinilai SALAH, karena Anton meminta Dini mengambilkan kedua-duanya.
    Bentuk Ini dapat ditulis:
    p = B maka p ? k =B p = B Maka p ? k = S p = S Maka p ? k = S
    q = B q = S q = B

    p = S maka p ? q = S
    q = S

    Jadi, untuk Konjungsi, hasil operasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.

  • Disjungsi (v). Yaitu Operasi "Atau".
    Misal:
    Anton meminta tolong kepada Dini untuk mengambilkan Pensil (p) atau Karet Penghapus (k).
    Jika ternyata Dini hanya mengambikan Pensil (p) saja atau Penghapus (q) saja, maka tindakan Dini dinilai BENAR, karena Anton meminta Dini mengambilkan salah satunya.
    Bentuk Ini dapat ditulis:
    p = B maka p V q =B p = B Maka p V k = B p = S Maka p V k = B
    q = B q = S q = B

    p = S maka p V k = S
    q = S

    Jadi, untuk Disjungsi, hasil operasi akan bernilai benar jika salah satu pernaytaan bernilai benar.

Karena khawatir membuat bingung pembaca, maka untuk tulisan selanjutnya ZyuProject sajikan hanya rangkumannya saja:

  • Implikasi, bertanda "→". Untuk p→q (dibaca, jika p maka q)Menghasilkan Nilai Salah hanya jika p = B dan q = S. Selain itu, untuk apapun nilai p dan q, implikasi akan bernilai Benar.
    Implikasi juga dapat ditulis dalam bentuk yang senilai, yaitu
    ~p V q serta ~q→p.Jadi

    p→q ≡ ~p V q ≡ ~q→p

  • BiImplikasi, bertanda "↔".Menghasilkan nilai benar hanya jika p = q.
    Misal, diketahui p = B dan q = S, maka p ↔ q = B
    Misal, diketahui p = S dan q = S, maka p ↔ q = B
    Dan, untuk nilai p dan q yang tak sama, maka BiImplikasi akan bernilai Salah.

Nah, itu tadi mengenai beberapa operasi logika matematika. Sekarang kita akan berkenalan dengan beberapa istilah dalam logika matematika yang sering keluar, mereka adalah Konvers, Invers, dan Kontraposisi.

  • Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
    Untuk pernyataan p → q, maka
    Konvers nya q → p
    Inversnya ~p → ~q
    KontraPosisinya ~q → ~p

Sekarang, ulasan yang terakhir adalah tentang penarikan kesimpulan, berikut adalah uraian singkatnya:

  • Penarikan Kesimpulan. Penarikan Kesimpulan ada tiga macam, yaitu Ponens, Tollens, dan Silogisme.

    • Ponens. Misalnya:
      p = Matahari Bersinar
      q = Udara Cerah
      Premis 1 : Jika Matahari Bersinar maka Udara Cerah (p → q)
      Premis 2 : Matahari Bersinar (p)
      Kesimpulannya : Udara Cerah (q)

      Dapat ditulis secara matematis
      p → q
      p____
      ∴ q

    • Tollens. Misalnya:
      p = Matahari Bersinar
      q = Udara Cerah
      Premis 1 : Jika Matahari Bersinar maka Udara Cerah (p → q)
      Premis 2 : Matahari tidak Bersinar (~p)
      Kesimpulannya : Udara Cerah (~q)

      Dapat ditulis secara matematis
      p → q
      p____
      ∴ ~q

    • Silogisme. Misalnya:
      p = Matahari Bersinar
      q = Udara Cerah
      r = Saras menjemur pakaian
      Premis 1 : Jika Matahari Bersinar maka Udara Cerah (p → q)
      Premis 2 : Jika Udara Cerah maka Saras Menjemur pakaian (q → r)
      Kesimpulannya : Jika Matahari Bersinar maka Saras menjemur pakaian (p → r)

      Dapat ditulis secara matematis
      p → q
      q → r
      ∴ p → r

Tambahan: Negasi "Semua" adalah "Beberapa", dan Negasi "Beberapa" adalah "Semua", Misal
p : Semua anak memakai baju merah, maka
~p : Beberapa anak memakai baju merah

q : Beberapa anak memakai baju kuning
~q : Semua anak memakau baju kuning

Demikian kiranya apa yang ZyuProject bisa tulis kali ini. Jika ada kesalahan atau isi yang kurang tepat, para pembaca dapat mengirimkan email ke zyuproject@yahoo.com.

Selamat Belajar!

Min kali Min, Plus?

Diskusi kita minggu ini adalah mengapa min dikali min hasilnya plus. Mengapa demikian?

Begini singkatnya:

Aturan min kali min sama dengan plus itu didapat dari barisan bilangan,
Jadi untuk menjawab pertanyaan ini kita dapat menggunakan barisan bilangan.

Dalam barisan bilangan misalnya kita menulis 5×1 berati kita harus menambah/meloncati tiap satu angka (mulai dari angka nol) sebanyak lima kali, jadi nanti kita akan emnunjuk tepat pada angka lima

Kalau 5×2, maka kita harus melangkah sebanyak dua bilangan dari angka nol sebanyak lima kali. Nah, akhirnya kita akan menunjuk tepat pada angka 10

Sekarang ada yang harus kita perhatikan terlebih. Dalam barisan bilangan ada dua sisi, sisi disebelah kanan nol ktia sebut saja sisi positif, dan disebalah kirinya merupakan sisi negatif.

Penambahan tanda minus dalam suatu angka, akan mengakibatkan angka tersebut berlawanan sisi dari sisinya saat itu dalam barisan bilangan. Misalnya, angka 5 akan berada dalam posisi positif dalam sebuah barisan bilangan, sedangkan angka -5 akan berada dalam sisi negatif dari sebuah barisan bilangan.

Bagaimana dengan perkalian?
Pemberian tanda minus dalam perkalian berarti merubah arah loncatan kita dalam barisan bilangan

Jika 5×2 berarti kita meloncat ke kanan 2 langkah sebanyak 5 kali dari angka nol
maka
5x-2 berarti kia meloncat ke kiri 2 langkah sebanyak 5 kali dari angka nol
Berarti, pemberian angka minus pada multiplier (dalam hal ini 2) menyatakan/mengakibatkan perubahan arah pada yang dikali

Nah, bagaimana dengan perkalian sesama minus misalnya -2 x -1

Tenang saja, ada logikanya,

kalau 2 x -1 berarti kita meloncat ke arah kiri (membalikkan arah angka 2, angka dua berarah ke kanan), dan dimulai dari angka nol, jadi posisi terakhir kita akan menunjuk pada angka min dua.

Nah,
berarti kalau perkalian -2 x -1, berarti kita sama dengan membalik arah min dua (-2 berarah ke kiri, tetapi dengan adanya -1 sebagai pengali, kita merubah arah loncatan bukan ke kiri lagi, tetapi ke kanan, ingat yang dirubah adalah arah terkali), dan perhitungan tetap dimulai dari angka nol,

sehingga perkalian -2 x -1 hasilnya akan sama dengan 2 x 1

Jadi, perkalian minus maksudnya itu membalikkan kebalikan dari sesuatu, makanya ada aturan min kali min sama dengan plus.

Demikian penjelasannya.

Soal Limit XI-IPA1

Berikut ini adalah soal-soal limit yang ditugaskan untuk kelas XI IPA 1

Silahkan Download Disini

“Dan apabila hamba-hamba-Ku bertanya kepadamu tentang Aku, maka (jawablah), bahwasanya Aku adalah dekat. Aku mengabulkan permohonan orang yang berdo`a apabila ia memohon kepada-Ku, maka hendaklah mereka itu memenuhi (segala perintah) Ku dan hendaklah mereka beriman kepada-Ku, agar mereka selalu berada dalam kebenaran.”

{Al-Baqarah : 186}